Pembahasan Matematika IPA UN 2017 No. 11 - 15 - Kumpulan RPP K13

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) tahun 2017 bidang studi Matematika SMA-IPA nomor 11 sampai dengan nomor 15 tentang:

operasi matriks,
invers matriks,
sistem persamaan linear,
program linear (nilai maksimum),
program linear (prosentase maksimum).

Soal No. 11 tentang Operasi Matriks

Diketahui matriks:

Matriks A, B, C, D, operasi matriks Matematika UN 2017

Jika A + B = CD maka a + b + c = ….

A.   −6
B.   −2
C.   0
D.   6
E.   8

Pembahasan

Matriks termasuk materi yang mudah tetapi membutuhkan ketelitian. Mari kita kerjakan pelan-pelan!

Operasi matriks A+B + CD, Matematika UN SMA IPA 2017

Nah, sudah terbentuk kesamaan matriks. Berarti komponen yang bersesuaian mempunyai nilai yang sama.

4 − a = 8
−a = 4
a = −4

b + 5 = 6
b = 1

−2c − 4 = −10
−2c = −6
c = 3

Dengan demikian,

a + b + c = −4 + 1 + 3
= 0

Jadi, nilai dari a + b + c adalah 0 (C).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Matriks.

Soal No. 12 tentang Invers Matriks

Diketahui matriks

Matriks A dan B, Matematika SMA IPA UN 2017

dan matriks AB = C. Matriks C⁻¹ adalah invers matriks C, maka matriks C⁻¹ = ….

Opsi invers matriks dari matriks C, Matematika UN 2017

Pembahasan

Kita operasikan matriks A kali matriks B untuk mendapatkan matriks C.

Selanjutnya kita tentukan invers matriks C dengan menggunakan rumus:

Sehingga,

Jadi, invers dari matriks C adalah opsi (A).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Matriks.

Soal No. 13 tentang Sistem Persamaan Linear

Di toko yang sama, Dira, Anita, dan Sita membeli alat-alat tulis. Dira membeli 2 buku tulis, 1 pensil, dan 1 penggaris dengan harga Rp19.000,00. Anita membeli 1 buku tulis, 2 pensil, dan 2 penggaris dengan harga Rp20.000,00. Sedangkan Sita membeli 3 buku tulis, 2 pensil, dan 1 penggaris dengan harga Rp28.000. harga yang harus dibayar untuk membeli 1 buku tulis, 3 pensil, dan 2 penggaris adalah ….

A.   Rp23.000,00
B.   Rp24.000,00
C.   Rp25.000,00
D.   Rp27.000,00
E.   Rp33.000,00

Pembahasan

Misalkan x, y, dan z secara berurutan mewakili buku tulis, pensil, dan penggaris maka model matematikanya adalah:

Dira   : 2x + y + z = 19.000    … (1)
Anita : x + 2y + 2z = 20.000   … (2)
Sita    : 3x + 2y + z = 28.000 … (3)

Eliminasi persamaan (1) dan (2) dengan mengalikan 2 pada persamaan (1) terlebih dahulu.

4x + 2y + 2z = 38.000
x + 2y + 2z = 20.000
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ −
3x = 18.000
x = 6.000

Selanjutnya, eliminasi persamaan (3) dan (1)

3x + 2y + z = 28.000
2x +   y + z = 19.000
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ −
          x + y = 9.000
   6.000 + y = 9.000
                y = 3.000

Kemudian kita substitusikan nilai x dan y pada persamaan (1).

2x + y + z = 19.000
2×6.000 + 3.000 + z = 19.000
z = 4.000

Dengan demikian, harga 1 buku tulis, 3 pensil, dan 2 penggaris adalah:

x + 3y + 2z = 6.000 + 3×3.000 + 2×4.000
= 6.000 + 9.000 + 8.000
= 23.000

Jadi, harga 1 buku tulis, 3 pensil, dan 2 penggaris adalah Rp23.000,00 (A).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear.

Soal No. 14 tentang Program linear (Nilai Maksimum)

Perusahaan mebel memproduksi dua model meja makan. Biaya untuk membuat tiap meja makan model A adalah Rp1.200.000,00 sedangkan untuk meja makan model B adalah Rp1.600.000,00. Waktu yang diperlukan untuk membuat setiap meja makan model A adalah 2 hari dan tiap meja makan model B adalah 5 hari. Modal yang tersedia sebesar Rp22.000.000,00 dan waktu yang tersedia adalah 60 hari. Keuntungan tiap meja makan model A adalah Rp1.000.000,00 sedangkan tiap meja makan model B adalah Rp1.500.000,00. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah ….

A.   Rp22.500.000,00
B.   Rp21.000.000,00
C.   Rp20.000.000,00
D.   Rp15.000.000,00
E.   Rp9.000.000,00

Pembahasan

Berikut ini tabel bantuan untuk soal di atas.

	Model A (x)	Model B (y)
Biaya	~~1.200.000~~ 3	~~1.600.000~~ 4	~~22.000.000~~ 55
Waktu	2	5	60
Untung	1.000.000	1.500.000

Berdasarkan tabel bantuan di atas, kita dapat membuat model matematika sebagai berikut:

3x + 4y = 55 … (1)
2x + 5y = 60 … (2)

Fungsi sasaran: U(x, y) = 1.000.000x + 1.500.000y

Sekarang kita eliminasi persamaan (1) dan (2). Sebelumnya persamaan (1) kita kalikan 2 sedangkan persamaan (2) kita kalikan 3. Diperoleh:

6x + 8y = 110
6x + 15y = 180
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ −   (bawah dikurangi atas)
          7y = 70
            y = 10

Kemudian y = 10 kita substitusikan ke persamaan (1) untuk mendapatkan nilai x.

3x + 4y = 55
3x + 40 = 55
3x = 15
x = 5

Dengan demikian, keuntungan maksimum tercapai ketika x = 5 dan y = 10.

U(x, y) = 1.000.000x + 1.500.000y
U(5, 10) = 1.000.000×5 + 1.500.000×10
= 5.000.000 + 15.000.000
= 20.000.000

Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah Rp20.000.000,00 (C).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Program Linear.

Soal No. 15 tentang Program Linear (Persentase Maksimum)

Setiap hari seorang pengrajin tas memproduksi dua jenis tas. Modal untuk tas model I adalah Rp20.000,00 dengan keuntungan 40%. Modal untuk tas model II adalah Rp30.000,00 dengan keuntungan 30%. Jika modal yang tersedia setiap harinya adalah Rp1.000.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi 40 tas, keuntungan terbesar yang dapat dicapai pengrajin tas tersebut adalah ….A.   30%
B.   34%
C.   36%
D.   38%
E.   40%

Pembahasan

Tabel bantuan untuk soal di atas adalah sebagai berikut:

	Model I (x)	Model II (y)	40
Biaya	~~20.000~~ 2	~~30.000~~ 3	~~1.000.000~~ 100
Untung	40% × 20.000 = 8.000	30% × 30.000 = 9.000

Berdasarkan tabel bantuan di atas, diperoleh model matematika:

x + y = 40 … (1)
2x + 3y = 100 … (2)

Fungsi objektif: U(x, y) = 8.000x + 9.000y

Eliminasi persamaan (1) dan (2) dengan mengalikan persamaan (1) dengan 2 terlebih dahulu.

2x + 2y = 80
2x + 3y = 100
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ − (bawah dikurangi atas)
y = 20 → x = 20

Dengan demikian, pengrajin tersebut akan memperoleh keuntungan maksimum saat x = y = 20.

    U(x, y) = 8.000x + 9.000y
U(20, 20) = 8.000×20 + 9.000×20
                 = 160.000 + 180.000
                 = 340.000

Persentase keuntungan terhadap modal adalah: