Pembahasan Matematika IPS UN 2017 No. 16 - 20

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) tahun 2017 bidang studi Matematika SMA-IPS nomor 16 sampai dengan nomor 20 tentang:

• kesamaan matriks, 
• determinan matriks, 
• barisan dan deret aritmetika, 
• barisan dan deret geometri, serta
• penerapan barisan geometri.

Soal No. 16 tentang Kesamaan Matriks

Diketahui matriks

Jika A + B = C^T dengan C^T menyatakan transpos matriks C maka nilai a − 2b + c adalah ….A.   −8
B.   −5
C.   −2
D.   0
E.   5

Pembahasan

Transpos matriks C adalah baris dari matriks C yang menjadi kolom dari C^T.

Mari kita operasikan persamaan matriks di atas agar menjadi kesamaan matriks.

Berdasarkan kesamaan matriks di atas diperoleh:

a + 4 = 0
      a = −4

2b + 1 = 5
      2b = 4
        b = 2

c + 1 = 4
      c = 3

Dengan demikian,

a − 2b + c = −4 − 2×2 + 3
                 = −4 − 4 + 3
                 = −5

Jadi, nilai dari a − 2b + c adalah −5 (B).

Soal No. 17 tentang Determinan Matriks

Diketahui matriks

Determinan A × B adalah ….A.   −391
B.   −119
C.   −41
D.   41
E.   391

Pembahasan

Kita ingat dulu rumus determinan matriks.

Kemudian kita ingat juga sifat determinan matriks, bahwa:

det⁡(A×B) = det ⁡A × det ⁡B

Nah, sekarang kita cari determinan matriks A dan determinan matriks B.

Dengan demikian,

det⁡(A×B) = det ⁡A × det ⁡B
                = 23 × (−17)
                = −391

Jadi, determinan A×B adalah −391 (A).

Soal No. 18 tentang Barisan dan Deret Aritmetika

Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke-5 dan suku ke-8 berturut-turut adalah 4 dan 10. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah ….A.   50
B.   55
C.   60
D.   65
E.   70

Pembahasan

Suku ke-n barisan aritmetika dirumuskan sebagai:

U_n = a + (n − 1)b

Berdasarkan rumus tersebut diperoleh:

U₅ = a + 4b = 4
U₈ = a + 7b = 10
      ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯  −
             −3b = −6
                 b = 2

Substitusi b = 2 pada U₅ diperoleh:

  a + 4b = 4
a + 4×2 = 4
     a + 8 = 4
            a = −4

Sedangkan untuk mendapatkan jumlah 10 suku pertama, kita gunakan rumus:

  S_n = n/2 [2a + (n − 1)b]
U₁₀ = 10/2 [2×(-4)+(10-1)2]
       = 5(−8 + 18)
       = 5×10
       = 50

Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah 50 (A).

Soal No. 19 tentang Barisan dan Deret Geometri

Diketahui suku ke-2 dan ke-6 barisan geometri berturut-turut adalah 4 dan 64. Suku ke-10 barisan tersebut adalah ….A.   1.024
B.   512
C.   256
D.   128
E.   64

Pembahasan

Rumus suku ke-n barisan geometri adalah:

U_n = arⁿ⁻¹

Berpedoman pada rumus tersebut diperoleh:

U₂ = ar = 4
U₆ = ar⁵ = 64

Jika U₆ dibagi dengan U₂, diperoleh:

Nilai suku pertama a bisa dapatkan melalui U₂.

  ar = 4
a×2 = 4
    a = 2

Dengan demikian, suku ke sepuluh deret tersebut adalah:

U₁₀ = ar⁹
       = 2×2⁹
       = 2¹⁰
       = 1024

Jadi, Suku ke-10 barisan tersebut adalah 1.024 (A).

Soal No. 20 tentang Penerapan Barisan Geometri

Pertambahan penduduk suatu kota setiap tahun diasumsikan mengikuti aturan barisan geometri. Pada tahun 2013 pertambahannya sebanyak 5 orang dan pada tahun 2015 sebanyak 80 orang. Pertambahan penduduk pada tahun 2017 adalah ….A.   256 orang
B.   512 orang
C.   1.280 orang
D.   2.560 orang
E.   5.204 orang

Pembahasan

Soal di atas sebenarnya mudah ditebak. Coba perhatikan! Tahun 2013 pertambahan penduduk 5 orang dan tahun 2015 pertambahannya 80 orang. Artinya, selama 2 tahun pertambahan penduduk naik 16 kali (80 : 5).

Dengan demikian, 2 tahun kemudian (tahun 2017) pertambahan penduduknya diperkirakan juga naik 16 kali sehingga menjadi 80×16 = 1280.

Ok, supaya lebih meyakinkan, kita selesaikan dengan menggunakan rumus deret geometri.

Tahun 2013 → a = 5
Tahun 2014 → U₂
Tahun 2015 → U₃ = 80
Tahun 2016 → U₄
Tahun 2017 → U₅ = ?

Pada barisan geometri berlaku rumus:

U_n = arⁿ⁻¹
 
Sehingga:

U₃ = ar²
 80 = 5r²
  r² = 80/5
      = 16
    r = 4

Dengan demikian, suku ke-5 adalah:

U₅ = ar⁴
     = 5 × 4⁴
     = 5 × 256
     = 1280

Jadi, pertambahan penduduk pada tahun 2017 adalah 1.280 orang (C).

Bagikan Artikel ini