Pembahasan Matematika No. 1 - 5 TKD Saintek SBMPTN 2017 Kode Naskah 157

Pembahasan soal Matematika Tes Kemampuan Dasar Sains dan Teknologi (TKD Saintek) Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN) tahun 2017 Kode Naskah 157 nomor 1 sampai dengan nomor 5 tentang:

• sistem persamaan linear, 
• matematika keuangan, 
• pertidaksamaan, 
• vektor, dan 
• persamaan trigonometri.

Soal No. 1 tentang Sistem Persamaan Linear

Jika x dan y memenuhi

maka nilai x + 2y = ….A.   1
B.   2
C.   3
D.   4
E.   5

Pembahasan

Karena kedua persamaan di atas mengandung penyebut yang sama maka dapat kita misalkan:

Sehingga diperoleh sistem persamaan linear:

2p − q = 2       … (1)
p + 3q = −5/2  … (2)

Selanjutnya kita eliminasi kedua persamaan tersebut dengan mengalikan 2 pada persamaan (2) terlebih dahulu. Diperoleh:

2p −   q = 2
2p + 6q = −5
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯  −
      −7q = 7
          q = −1

Dengan diperolehnya q = −1, kita dapat memperoleh nilai p dari persamaan (1).

2p − q = 2
2p + 1 = 2
      2p = 1
        p = 1/2

Nah, sekarang perhatikan permisalan dan pertanyaan soal di atas!

Ternyata nilai x + 2y merupakan nilai dari 1/p − 1/q.

Jadi, nilai dari x + 2y adalah 3 (C).

Soal No. 2 tentang Matematika Keuangan

Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungan menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ….

Pembahasan

Soal di atas bisa saja diselesaikan dengan rumus bunga tunggal maupun bunga majemuk. Namun karena semua opsi jawaban mengandung operasi akar maka soal tersebut harus diselesaikan dengan rumus bunga majemuk.

Adapun rumus bunga majemuk adalah sebagai berikut:

M_n = M₀ (1 + i)ⁿ

dengan  M_n : Modal setelah n periode
             M₀ : Modal awal
                 i : besar bunga
                n : periode

Sementara itu, pada soal diketahui:

M_n = 2M₀
   n = 5 tahun
      = 10 semester

Dengan demikian, rumus di atas menjadi:

Tingkat suku bunga di atas adalah tingkat suku bunga per semester, sedangkan tingkat suku bunga per tahun adalah:

Jadi, besar tingkat suku bunga per tahun adalah opsi (A).

Soal No. 3 tentang Pertidaksamaan

Banyak bilangan bulat x yang memenuhi pertidaksamaan

adalah ….A.   3
B.   4
C.   5
D.   6
E.   7

Pembahasan

Langkah pertama menyelesaikan pertidaksamaan adalah memindahkan semua suku ke ruas kiri atau ruas kanan dijadikan nol.

Selanjutnya kita selesaikan pertidaksamaan tersebut dengan menyamakan penyebutnya.

Kemudian pembilangnya kita jabarkan dengan menggunakan rumus (a + b)(a − b) = a² − b².

Nah, sekarang kita buat garis bilangan untuk bentuk pertidaksamaan terakhir ini.

Untuk menentukan daerah positif dan negatif, masukkan saja x = 1000 (hehehe... gak usah tanggung-tanggung). Hasilnya positif kan?

Sedangkan x = 1000 adalah daerah sebelah kanan. Berarti daerah sebelah kanan bernilai positif.

Selanjutnya daerah yang lain diisi secara berseling. Sehingga daerah tengah bernilai negatif dan daerah sebelah kiri bernilai negatif.

Berdasarkan garis bilangan di atas, hasil penentuan interval x adalah:

−4 ≤ x ≤ 4

Namun, perlu diingat! Pertidaksama di atas bertanda ‘≤’ (mengandung tanda ‘=’) sehingga harus diberlakukan syarat penyebut.

Penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan nol sehingga:

x + 4 ≠ 0
       x ≠ −4

x − 4 ≠ 0
      x ≠ 4

Dengan memperhitungkan syarat penyebut di atas maka hasilnya penyelesaiannya adalah:

−4 < x < 4

Untuk x bilangan bulat, himpunan penyelesaian untuk x adalah:

    x = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}
n(x) = 7

Jadi, banyak bilangan bulat x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah 7 (E).

Soal No. 4 tentang Vektor

Diketahui tiga vektor a, b, dan c dengan b ∙ c = 9 dan c = b + a. Misalkan γ adalah sudut antara vektor a dan c. Jika γ = 30° dan |c| = 6 maka |a| = ….A.   1/4
B.   1/3
C.   1/3 √3
D.   1/4 √7
E.   3√3

Pembahasan

Diketahui:

b ∙ c = 9
c = b + a  atau  a = c − b
|c| = 6
γ = 30°

Karena γ adalah sudut antara vektor a dan c maka berlaku rumus:

Data untuk vektor a tidak diketahui sehingga kita perlu mengganti a menjadi a = c − b. Diperoleh:

Pada vektor berlaku a² = |a|² sehingga diperoleh:

Jadi, nilai dari |a| adalah 3√3 (E).

Soal No. 5 tentang Persamaan Trigonometri

Jika

dengan 0 < x < π/2 maka cos²⁡ x − sin² x = ….A.   1/√26
B.   2/√26
C.   3/√26
D.   4/√26
E.   5/√26

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal di atas, sebaiknya memahami kembali rumus trigonometri sudut ganda berikut ini:

Dengan berpedoman pada rumus di atas, soal di atas dapat diselesaikan dengan mudah sebagai berikut:

Sekarang kita buat segitiga trigonometri untuk tan⁡ 2x = 5.

Dengan demikian,

cos²⁡ x − sin² x = cos ⁡2x
                        = 1/√26

Jadi, nilai dari cos²⁡ x − sin² x  adalah 1/√26 (A).

Bagikan Artikel ini