Pembahasan Matematika No. 11 - 15 TKD Saintek SBMPTN 2017 Kode Naskah 157

Pembahasan soal Matematika Tes Kemampuan Dasar Sains dan Teknologi (TKD Saintek) Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN) tahun 2017 Kode Naskah 157 nomor 11 sampai dengan nomor 15 tentang:

• limit fungsi trigonometri, 
• fungsi rasional, 
• turunan fungsi, 
• persamaan garis, dan 
• teori peluang.

Soal No. 11 tentang Limit Fungsi Trigonometri

A.   −3/4
B.   1/2
C.   3/4
D.   4/3
E.   2

Pembahasan

Limit fungsi trigonometri di atas dapat kita selesaikan dengan mudah apabila kita ubah batas nilai limitnya dari ∞ menjadi 0 sebagai berikut:

Sehingga

Nah, sekarang kita tinggal mengubah cot x menjadi 1/(tan x) dan csc x menjadi 1/(sin x).

Untuk limit fungsi trigonometri mendekati berlaku tan x = sin x sehingga diperoleh:

Jadi, nilai dari limit fungsi trigonometri tersebut adalah 4/3 (D).

Soal No. 12 tentang Fungsi Rasional

Diberikan dua fungsi rasional

Jika diketahui salah satu asimtot tegak dari y₁ dan y₂ berjarak 4 satuan maka a = ….A.   7
B.   8
C.   9
D.   10
E.   11

Pembahasan

Asimtot tegak suatu fungsi pecahan terjadi saat penyebut pecahan tersebut sama dengan nol.

Dengan demikian, asimtot tegak fungsi y₁ adalah:

x² − 5x + 6 = 0
(x − 2)(x − 3) = 0
x = 2 atau x = 3

Sedangkan asimtot tegak fungsi y₂ adalah:

x² − (a + 8)x + 8a = 0
(x − a)(x − 8) = 0
x = a atau x = 8

Sementara itu, jarak salah satu asimtot tegak fungsi y₁ dan y₂ dari a adalah 4.

• Untuk x = 2

a − 2 = 4
      a = 6

• Untuk x = 3

a − 3 = 4
      a = 7

Jadi, sesuai dengan opsi jawaban yang ada, nilai a adalah 7 (A).

Soal No. 13 tentang Turunan Fungsi

Misalkan f(x) = sin⁡(cos²⁡ x) maka f '(x) = ….

A.   −2 sin⁡ x cos⁡(cos²⁡ x)
B.   −2 sin⁡ 2x cos⁡(cos²⁡ x)
C.   −sin⁡ x cos⁡(cos²⁡ x)
D.   −sin ⁡2x cos⁡(cos²⁡ x)
E.   −sin²⁡ x cos⁡(cos²⁡ x)

Pembahasan

Perhatikan fungsi f(x)!

f(x) = sin⁡(cos²⁡ x)

Misalkan:

cos⁡ x = v               →   dv/dx = −sin ⁡x
cos²⁡ x = v² = u      →   du/dv = 2v
sin⁡(cos²⁡ x) = sin ⁡u   →   df/du = cos ⁡u

Dengan demikian,

f '(x) = df/dx
        = df/du ∙ du/dv ∙ dv/dx
        = cos ⁡u ∙ 2v ∙ (−sin ⁡x)
        = cos⁡⁡(cos²⁡ x) ∙ 2cos ⁡x ∙ (−sin⁡ x)
        = −2sin ⁡x cos⁡ x cos⁡(cos²⁡ x)

Mengingat rumus sin⁡ 2x = 2sin ⁡x cos ⁡x, diperoleh:

= −sin ⁡2x cos⁡(cos²⁡ x)

Jadi, turunan dari fungsi f(x) adalah opsi (D).

Soal No. 14 tentang Persamaan Garis

Garis singgung dari f(x) = x² + a/x di titik x = 1  berpotongan dengan garis y = x − 1  di titik (b, c) maka b − c = ….

A.   −2a − 1
B.   1
C.   2a + 1
D.   −1
E.   −a − 1

Pembahasan

Gradien garis singgung f(x) berpotongan dengan garis y = x − 1 di titik (b, c). Artinya, garis y = x − 1 melalui titik (b, c).

Oleh karena itu, kita bisa langsung melakukan substitusi titik (b, c) terhadap garis y = x − 1.

(b, c) →       y = x − 1.
                    c = b − 1
              c − b = −1
              b − c = 1

Jadi, nilai dari b − c adalah 1 (B).

Soal No. 15 tentang Teori Peluang

Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian maka peluang yang terambil adalah 1 bola merah adalah ….A.   0,04
B.   0,10
C.   0,16
D.   0,32
E.   0,40

Pembahasan

Diketahui:

Kotak I  : 12 bola putih + 3 merah (15 bola)
Kotak II : 4 bola putih + 4 merah (8 bola)

Jika tiap kotak diambil 2 bola dengan pengembalian maka kemungkinan terambilnya 1 bola merah:

Kota I terambil 1 bola merah dan 1 bola putih sedangkan kotak II terambil 2 bola putih.

MP dan PP : 3/15 × 12/15 × 4/8 × 4/8 = 1/25
PM dan PP : 12/15 × 3/15 × 4/8 × 4/8 = 1/25

Kota I terambil 2 bola putih dan kotak II terambil 1 bola merah dan 1 bola putih.

PP dan MP : 12/15 × 12/15 × 4/8 × 4/8 = 4 /25
PP dan PM : 12/15 × 12/15 × 4/8 × 4/8 = 4/25

Dengan demikian, peluang terambilnya 1 bola merah dari kotak I dan II dengan masing-masing 2 pengambilan adalah:

1/25 + 1/25 + 4/25 + 4/25 = 10/25
                                          = 0,4

Jadi, peluang yang terambil adalah 1 bola merah adalah 0,40 (E).

Bagikan Artikel ini